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巴戦の勝率は?

巴戦は大相撲の優勝決定戦の一種で、勝ち残った力士が3人いる場合、連続して2勝した力士が優勝になります。

  • メンバーの3人(A、B、C)は、同じ実力
  • 勝者は引き続き、待機していた1人と対戦
  • 初戦はA対Bで、Cは待機する
  • 続けて2勝した時点で優勝が決まる

上記のようなルールで、3人それぞれが優勝する確率は、どうなるでしょうか。

初戦に出場するA、Bと、待機するCは条件が違うので、Cが優勝する確率を計算します。(A、Bの確率は、Cが優勝しない確率の\(\large{\frac{1}{2}}\)と計算できます)

1試合目でAが勝つ場合を考えます。

2試合目にCが勝ち、3試合目にもCが勝つと、最短でCが優勝です。

確率は、\(\large{\frac{1}{2}}\)(2試合目にCが勝つ確率)\(\normalsize{\times}\large{\frac{1}{2}}\)(3試合目にCが勝つ確率)

3試合目のBとの対戦でCが負けた場合、4試合目にBが勝つとBが優勝となるため、ここではAが勝ち、5試合目・6試合でCが勝つと、Cが優勝となります。

確率は、\(\large{\frac{1}{2}}\)(2試合目にCが勝つ)\(\normalsize{\times}\large{\frac{1}{2}}\)(3試合目にCが負ける)\(\normalsize{\times}\large{\frac{1}{2}}\)(4試合目にAが勝つ)\(\normalsize{\times}\large{\frac{1}{2}}\)(5試合目にCが勝つ)\(\normalsize{\times}\large{\frac{1}{2}}\)(6試合目にCが勝つ)

Cが優勝するのは、このように3試合ごとです。

\(\large{\frac{1}{2^2}}\normalsize{+}\large{\frac{1}{2^5}}\normalsize{+\cdots +}\large{\frac{1}{2^{2+3(k-1)}}}\normalsize{+\cdots }\)

初項\(\large{\frac{1}{2^2}}\)、公比\(\large{\frac{1}{2^3}}\)の等比数列になり、
\(n\)項の和は公式より、\(\large{\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{8^n})}{1-\frac{1}{8}}}\normalsize{=}\large{\frac{1}{4}}\normalsize{(1-}\large{\frac{1}{8^n}\normalsize{)}}\normalsize \times \large{\frac{8}{7}}\)

\(n \rightarrow \infty\)で、\(\large{\frac{2}{7}}\)

A、B、Cそれぞれが優勝する確率は、\(\large{\frac{5}{14},\frac{5}{14},\frac{4}{14}}\)となり、巴戦では最初に待機する人が不利になることがわかります。

Pythonでシミュレーションしてみました。

横軸が試行回数、縦軸が優勝までの試合数です。C(緑)が優勝するのは、3回、6回、と3の倍数、A(青)B(茶)は、それ以外になっています。

100回中の優勝回数は、A39回、B40回、C21回(計算上は35.7、35.7、28.6)
平均試合数は3.11です。

試行回数を1万回まで増やすと(意味はないですが)、A3557回、B3593回、C2850回と計算値(3571.4、3571.4、2857.1)に近づきます。

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