旧式SEの計算機室 
ルール
- 最初の持ち点は\(n\)ポイント、目標を\(N\)ポイントとする
- 1ゲームごとに、勝てば＋１ポイント、負ければー１ポイント
- 勝つ確率を\(p\)とする \((0\lt p \lt 1)\)
- ０ポイント（破産）になるか、\(N\)ポイント（成功）になるまでゲームを続ける
ギャンブラーが破産する確率を求めます。
\(n\)ポイントのときの破産の確率を\(a_n\)とすると
２回目以降は、確率\(p\)で\((n+1)\)ポイント、確率\(1-p\)で\((n-1)\)ポイントの状態から、ゲームを続けることになるので
\(a_n = p a_n{}_+{}_1 + (1-p) a_n{}_-{}_1\) \((1\leq n\leq N-1)\)
三項間漸化式の特定方程式は、\(px^2 – x + (1-p) = 0\) なので、解は\(x=1\)と、\(\large{\frac{1-p}{p}}\)
- \(p =\large{\frac{1}{2}}\)のとき
解は、\(a_n=A + nB\)から、\(a_0=1\) \( a_N=0\)を満たす\(A\)、\(B\)を求めると\(A = 1\) \(B=\large{-\frac{1}{N}}\)
\(a_n=1-\large{\frac{n}{N}}\) - \(p \neq\large{\frac{1}{2}}\)のとき、
解は、\(a_n=A + r^n B\) \((r=\large{\frac{1-p}{p}})\)から、\(a_0=1\) \( a_N=0\)を満たす\(A\)、\(B\)を求めると\(A = \large{\frac{r^N}{r^N-1}}\) \(B = \large{\frac{-1}{r^N-1}}\)
\(a_n=\large{\frac{r^N-r^n}{r^N-1}}\)
勝率が1/2以上のときには、破産確率が０に近づき、1/2以下なら破産確率は１に近づきます。
このうち勝率1/2の場合をPythonでシミュレーションしてみました。持ち点10ポイント、目標20ポイントとします。
破産か成功に行き着くまでのゲーム回数はまちまちですが、結果は破産確率\(0.5\)と計算どおりでした。（\(1-\large{\frac{10}{20}}\normalsize{=0.5}\)）
最初のポイントが5ポイントのときには、シミュレーションで\(0.74\)
（計算では\(1-\large{\frac{5}{20}}\normalsize{=0.75}\)）
最初のポイントが15ポイントのときには、シミュレーションで\(0.26\)
（計算では\(1-\large{\frac{15}{20}}\normalsize{=0.26}\)）
動きがおもしろいので、グラフにしてみました。それぞれ、5ポイントスタート、10ポイントスタート、15ポイントスタートです。
