この中から、次のようなルールで続けて玉を取り出して、n回目に赤い玉が出る確率を求めます。
ルール『取り出した玉は、元に戻す。その際に、同じ色の玉を追加する』
具体的には・・・
取り出した玉が赤の場合
その玉を戻して、さらに赤い玉を追加します。
取り出した玉が白の場合も同様で、その玉を戻して白い玉を追加します。
玉の数は、どんどん増えていきますが、確率はどうなるでしょうか？
赤い玉３個、白い玉４個からスタートしてみます。
【１回目】玉の総数は７個、赤い玉は３個なので、赤い玉が出る確率は、\(\frac{3}{7}\)
【２回目】玉の総数は８個、赤い玉は「１回目が赤なら４個」「１回目が白なら３個のまま」なので赤い玉が出る確率は、
\(\frac{3}{7}\times\frac{4}{8} + \frac{4}{7}\times\frac{3}{8} = \frac{3}{7}\)
【3回目】玉の総数は9個、３回目が赤になるのは、「１回目赤、２回目赤」「１回目赤、２回目白」「１回目白、２回目赤」「１回目白、２回目白」の４通りあるので、確率は
\(\frac{3}{7}\times\frac{4}{8}\times\frac{5}{9} + \frac{3}{7}\times\frac{4}{8}\times\frac{4}{9} + \frac{4}{7}\times\frac{3}{8}\times\frac{5}{9} + \frac{4}{7}\times\frac{5}{8}\times\frac{3}{9}\)
\(= \frac{3}{7}\)
次に、n+1回目を考えます。
【 n+1回目】玉の総数は、7+n個。ここで選ぶ赤い玉は、
① n回目に追加された玉(赤）か ②それ以外 の2通りになります。
n回目に赤が出る確率を \(p_n\)とすると
① \(p_n \times\frac{1}{7+n}\)
② n回目に追加した玉を選ばない確率は \(\frac{7+n-1}{7+n}\)で、このときに赤を選ぶ確率は総数(7+n-1)個から赤い玉を選ぶので\(p_n\)と等しくなり
\(\large{\frac{7+n-1}{7+n}}\normalsize{\times p_n}\)
①と②を足して
\(p_n{}_+{}_1 = p_n\times\large{\frac{1}{7+n} + \frac{7+n-1}{7+n}}\normalsize{\times p_n = p_n}\) \(( n\leq1)\)
\(p_n = p_1=\large{\frac{3}{7}}\)となります。
赤a個、白b個、追加する玉の数をc個としても同様です。
\(p_1 = \large{\frac{a}{a+b}}\)
\(p_2 = p_1\times\large{\frac{a+c}{a+b+c}}+\normalsize{(1- p_1)\times}\large{\frac{a}{a+b+c}}=\frac{p_1 \times c + a}{ a+b+c }\)
\(= \large{ \frac{a}{a+b}}\)
.
\(p_n{}_+{}_1 = p_n \times\large{ \frac{c}{a+b+cn}+\frac{a+b+c(n-1)}{a+b+cn}}\normalsize{\times p_n}\) \((n \leq 1)\)
.
\(p_n =\large{ \frac{a}{a+b}}\)
