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ポリアの壺

壺に赤い玉と白い玉が複数個入っています。

この中から、次のようなルールで続けて玉を取り出して、n回目赤い玉が出る確率を求めます。
ルール『取り出した玉は、元に戻す。その際に、同じ色の玉を追加する』

具体的には・・・
取り出した玉が赤の場合

その玉を戻して、さらに赤い玉を追加します。

取り出した玉が白の場合も同様で、その玉を戻して白い玉を追加します。

 

玉の数は、どんどん増えていきますが、確率はどうなるでしょうか?

赤い玉3個、白い玉4個からスタートしてみます。

【1回目】玉の総数は7個、赤い玉は3個なので、赤い玉が出る確率は、\(\frac{3}{7}\)

【2回目】玉の総数は8個、赤い玉は「1回目が赤なら4個」「1回目が白なら3個のまま」なので赤い玉が出る確率は、
\(\frac{3}{7}\times\frac{4}{8} + \frac{4}{7}\times\frac{3}{8} = \frac{3}{7}\)

【3回目】玉の総数は9個、3回目が赤になるのは、「1回目、2回目」「1回目、2回目」「1回目、2回目」「1回目、2回目」の4通りあるので、確率は
\(\frac{3}{7}\times\frac{4}{8}\times\frac{5}{9} + \frac{3}{7}\times\frac{4}{8}\times\frac{4}{9} + \frac{4}{7}\times\frac{3}{8}\times\frac{5}{9} + \frac{4}{7}\times\frac{5}{8}\times\frac{3}{9}\)
\(= \frac{3}{7}\)

1回目から3回目まで、同じ確率ですね

次に、n+1回目を考えます。

【 n+1回目】玉の総数は、7+n個。ここで選ぶ赤い玉は、

① n回目に追加された玉(赤)か ②それ以外 の2通りになります。

n回目に赤が出る確率を \(p_n\)とすると

① \(p_n \times\frac{1}{7+n}\)

② n回目に追加した玉を選ばない確率は \(\frac{7+n-1}{7+n}\)で、このときに赤を選ぶ確率は総数(7+n-1)個から赤い玉を選ぶので\(p_n\)と等しくなり

\(\large{\frac{7+n-1}{7+n}}\normalsize{\times p_n}\)

①と②を足して

\(p_n{}_+{}_1 = p_n\times\large{\frac{1}{7+n} + \frac{7+n-1}{7+n}}\normalsize{\times p_n = p_n}\)    \(( n\leq1)\)

\(p_n = p_1=\large{\frac{3}{7}}\)となります。

何回目でも、確率は変わらないということですね

 

赤a個、白b個、追加する玉の数をc個としても同様です。

\(p_1 = \large{\frac{a}{a+b}}\)

\(p_2 = p_1\times\large{\frac{a+c}{a+b+c}}+\normalsize{(1- p_1)\times}\large{\frac{a}{a+b+c}}=\frac{p_1 \times c + a}{ a+b+c }\)
\(= \large{ \frac{a}{a+b}}\)
.

\(p_n{}_+{}_1 = p_n \times\large{ \frac{c}{a+b+cn}+\frac{a+b+c(n-1)}{a+b+cn}}\normalsize{\times p_n}\)   \((n \leq 1)\)
.

\(p_n =\large{ \frac{a}{a+b}}\)

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