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じゃんけんグリコで勝つには

じゃんけんグリコは、じゃんけんを繰り返して決まった歩数(グリコ、チョコレート、パイナップル)を進み、早くゴールした人が勝ちになるゲームです。グー・チョキ・パーの得点や、階段での遊び方など、細かいルールは地域によってまちまちですが、次のようなルールで考えます。

じゃんけんグリコ
・\(A、B\)の2人でゲームをして、総合得点で競い合う

・グーで勝てば3点、チョキは5点、パーは6点(チョキは6点の地域が多いようですが、ここでは5点とします)

\(B\)が、グー、チョキ、パーを出す確率の比を\((a,b,c)\)とした場合の\(A\)の戦略を考えてみましょう。

\(A\)の確率の比を\((p,q,r)\)とすると

\(A\)がグーで勝つ確率 \(pb\)
\(B\)がグーで勝つ確率 \(qa\)
\(A\)がチョキで勝つ確率 \(qc\)
\(B\)がチョキで勝つ確率 \(rb\)
\(A\)がパーで勝つ確率 \(ra\)
\(B\)がパーで勝つ確率 \(pc\)

1回のじゃんけんの期待値は

\(E=3(pb-qa)+5(qc-rb)+6(ra-pc)\)
※\(A\)がグーを出して勝ったときの期待値を3,\(B\)がグーで負けたとき(\(A\)はチョキ)の期待値をー3とします

\(B\)の戦術が\((\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})\)の場合

 

\(E=\large{\frac{1}{3}}\normalsize{(-3p+2q+r)}\)

\(p+q+r=1\)より\(E=\large{\frac{1}{3}}\normalsize{(1-4p+q)}\)

\(p=0,q=1,r=0\)で最大 すなわちチョキを出し続ける戦略がいいことがわかります。

 

\(B\)の戦略がわからない場合

 

\(E=a(6r-3q)+b(3p-5r)+c(5q-6p)\)

任意の\((a,b,c)\)に対して、\(E \geq 0\)となる\((p,q,r)\)を求めます。

 

条件\(C\)を \(6r-3q \geq 0,3p-5r \geq 0,5q-6p \geq 0\) とすると

  • 条件\(C\)を満たしていれば \(E \geq 0\)
  • \(E \geq 0\)であるためには
    \(a=1\)の場合には  \(6r-3q \geq 0\)を満たす必要があり、
    \(b=1\)の場合には  \(3p-5r \geq 0\)を満たす必要があり、
    \(c=1\)の場合には  \(5q-6p \geq 0\)を満たす必要があります。
    つまり、条件\(C\)を満たすことになり、

条件Cは、\(E \geq 0\)の必要十分条件だとわかります。

 

\(6r-3q \geq 0,3p-5r \geq 0,5q-6p \geq 0\)より
\(p,q,r\)のいずれかが0なら、他も0となるため、\(p,q,r \neq 0\)

 

\(6r \geq 3q , 3p \geq 6p , 5q \geq 6p\) → \(90pqr \geq 90pqr\)
等号が成立し、\(6r=3q , 3p=6p , 5q =6p\) → \(p:q:r=5:6:3\)となるので

 

\((p,q,r)=(\large{\frac{5}{14},\frac{6}{14},\frac{3}{14}})\)

 

 

 

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