ビュフォンの針

床に平行線を引いて、針を適当に投げます。針が線と交わる確率には、\(\pi\)が登場するので、実験によって\(\pi\)の近似値を得られます。

18世紀の博物学者ビュフォン伯ジョルジュ＝ルイ・ルクレールが提起した数学上の問題です。

針が線と交わる確率を求める

針の長さ(l)　＜　線の間隔(d)とします
\(\theta\)：針と線が作る角度 \(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)
y：針の中心から、近い方の線までの距離
\(0\leq y \leq\frac{d}{2}\)

針と線が交わる　\(\Rightarrow　y \leq \frac{l}{2}\sin \theta\)
ランダムなyと\(\theta\)に対して、\(y \leq \frac{l}{2}\sin \theta\)　となる確率を求めます。

上記の確率は、図の長方形内にランダムな1点を取ったときに、ブルーの範囲内（グラフ\(y=\frac{l}{2}\sin\theta\)とX軸に囲まれた範囲）である確率になります。

長方形の面積は、\(\frac{d}{2}\times\frac{\pi}{2} = \frac{\pi d}{4}\)

ブルーの部分の面積は、\(\int^\frac{\pi}{2}_0\frac{l}{2}\sin\theta d\theta = \large{\frac{l}{2}}\)

求める確率は、ブルーの部分の面積／長方形の面積　なので、\(\frac{2l}{\pi d}\)　です。

実験から円周率の近似値を計算

線の間隔を針の長さの2倍( \(d=2l\) )にすると、交差する確率は\(\frac{1}{\pi}\) となり、
投げる針の本数（回数）：Ｎ本(回）、線と交わる針の本数：\(i\)本とすると
\( \frac{i}{N} ≒\frac{1}{\pi}\) から\(\frac{N}{i}\)を\(\pi\)の近似値と見なせます。

Pythonで、針の位置と角度を乱数で設定して、N=1000、1000、10000で実行してみました。赤が、線と交差する針です。