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誕生日のパラドックス

ある集団の中に、同じ誕生日の人がいる確率を考えます。(便宜上、1年365日として閏年を除外します)

たとえば366人いるとしたら、そのうちの最低2人は同じ誕生日ですね。

では、同じ誕生日の人が2人いる確率が50%を超えるためには、何人必要でしょうか。

同じ誕生日の人がいる確率

MEMO

全員の誕生日がバラバラな確率を求めて、100%から引くと、同じ誕生日の人がいる 確率が得られます。

例)3人の場合
〇1人目
〇2人目 1人目と違う確率は\(\large{\frac{364}{365}}\)
〇3人目 前の2人と違う確率は\(\large{\frac{363}{365}}\)

3人がバラバラな確率は、\(\large{\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}}\) なので
同じ誕生日の人がいる確率は、\(1 – \large{\frac{364}{365}\times\frac{363}{365}}\)

n人の場合
$$1 – \frac{364}{365}\times\frac{363}{365}\times・・・\times\frac{365-(n-1)}{365}=\frac{{}_3{}_6{}_5{\rm P}_n}{365^n}$$

23人で50%を超えます。誕生日が特定の日である確率は\(\large{\frac{1}{365}}\)なので、確率が低いように勘違いするため「パラドックス」としているようです。

では特定の日の場合はどうでしょうか。

自分と同じ誕生日の人がいる確率

上と同様に、一人もいない確率を求めて100%から引きます。

ある人が自分と違う誕生日である確率は \(\frac{364}{365}\)

n人いるとして、全員が自分と違う誕生日である確率は\((\frac{364}{365})^n\)

\(1-(\frac{364}{365})^n\)すると

50%を超えるのは、254人となっています。こちらは感覚どおりですね。

 

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