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あみだくじの確率

順番や係決めなどに利用される「あみだくじ」。公平な選び方のように見えますが、確率はどうなっているでしょうか?

縦線が6本、横線が\(n\)本のあみだくじを考えてみます。

横線はランダムです。すなわち、5か所のどこに引く確率も\(\large{\frac{1}{5}}\)です。

\(a\)をスタートして、\(b\)に到達する確率\(\mathrm{ P }_n(a,b)\)を見ていきましょう。スタート地点、到達地点とも、左から0,1,2,3,4,5とします。

\(n=1\)の場合(横線が1本)

①\(\mathrm{ P }_1(0,0)\) 0からスタートして、0に到達するということは、横線は隣の箇所以外である\(\small{(1-2、2-3,3-4,4-5)}\)のいずれかに引かれているということです。

\(\mathrm{ P }_1(0,0)=1-\large{\frac{1}{5}}\) = \(\large{\frac{4}{5}}\)  \(\mathrm{ P }_1(5,5)\)も同様で\(\large{\frac{4}{5}}\)

②\(\mathrm{ P }_1(a,a)\)  真下に到達するということは、横線の位置はスタート地点の両側の2か所以外となり、\(a=1\)なら\(\small{(2-3,3-4,4-5)}\)のいずれかになります。

\(\mathrm{ P }_1(a,a)=1-\large{\frac{2}{5}}\)=\(\large{\frac{3}{5}}\) \((a=1,2,3,4)\)

③\(\mathrm{ P }_1(a,a+1)\)、\(\mathrm{ P }_1(a,a-1)\) スタート地点の隣に到達するということは、それぞれ隣に横線が引かれるということになります。

\(\mathrm{ P }_1(a,a+1)=\large{\frac{1}{5}}\) \((a=0,1,2,3,4)\)
\(\mathrm{ P }_1(a,a-1)=\large{\frac{1}{5}}\) \((a=1,2,3,4,5)\)

④上記以外の場合 \(\mathrm{ P }_1(a,b)=0\)

行列にすると、次のようになります。

この行列を\(\mathrm{ P }_1\)とします。縦はスタート地点、横は到達地点を示します。
0からスタートして1に到達する確率は、\(\mathrm{ P }_1(0,1)=\large{\frac{1}{5}}\) です。

\(n=2\)の場合(横線が2本)

aからbに到達する確率は、aからc(c=0,1,2,3,4,5)に到達して、その後cからbに到達する確率を足し合わせたものとなります。

\(\mathrm{ P }_2(a,b)=\displaystyle \sum_{c=0}^5  \mathrm{ P }_1(a,c)\mathrm{ P }_1(c,b)\) これは、\(\mathrm{ P }_1\)の2乗の各成分です。

横線が\(n\)本の場合

\(\mathrm{ P }_n(a,b)=\displaystyle \sum_{c=0}^5  \mathrm{ P }_{n-1}(a,c)\mathrm{ P }_1(c,b)\) となり、\(\mathrm{ P }_1\)のn乗の各成分を表します。

\(n=10\)を計算すると、次のようになりました。

かなりバラつきがあります。
両端は37%以上が真下に到達し、逆側に到着する確率は1.3%と低いのが目立ちます。真下に到達する傾向がありますが、端に近いと端に落ちています。

\(n=50\)

バラつきは減りましたが(14.7%から18.64%)、横線をかなり増やしても、到達地点への確率は均等ではないことがわかります。

 

最後に縦線も一般化し、\(m+1\)本とします。
\(a\)をスタートして、\(b\)に到達する確率を\(\mathrm{ P }_{m,n}(a,b)\)と表すと、行列\(\mathrm{ P }_m\)(\(n=1\)の場合の確率)は

\begin{eqnarray}
\left(
\begin{array}{ccc}
1-\frac{1}{m} & \frac{1}{m} \\
\frac{1}{m} & 1-\frac{2}{m} & \frac{1}{m} \\
& … & …\\
& & \frac{1}{m} & 1-\frac{2}{m} & \frac{1}{m} \\
& & &\frac{1}{m} & 1-\frac{1}{m}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}

\(\mathrm{ P }_{m,n}(a,b)=\displaystyle \sum_{c=0}^m  \mathrm{ P }_{m,n-1}(a,c)\mathrm{ P }_{m,1}(c,b)\) (\(\mathrm{ P }_{m,n}(a,b)\)は行列\(\mathrm{ P }_m\)のn乗の各成分)となります。

 

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